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    二次函數的6個考點:中考占20分左右,想考重點中學請熟記它們

    2020-04-30  多收了三...

    不積跬步,無以至千里;不積小流,無以成江海。數學課堂致力于考點歸納,解題方法和學習方法總結,為中學生加油!

    在初中數學中二次函數是一個非常重要的知識點。從近年來的中考來分析,關于二次函數這個知識點上,在一張中考數學試卷中,至少要占到10%到20%的比例。換句話來說,如果一個初中生沒有很好地掌握二次函數,那么將在中考中首先損失20分。這20分對于中考來說,就是你和重點高中失之交臂原因。

    學好函數還是有訣竅的,首先要掌握好下面六個考點。

    (一)二次函數的定義

    一般地,如果y=ax^2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0),那么y叫做x的二次函數.其中x是自變量,a,b,c分別為函數表達式的二次項系數、一次項系數和常數項。二次函數的有三種表達式:(1)一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c是常數,且a≠0);(2)頂點式:y=a〖'(x-h)' 〗^2+k(a≠0),它直接顯示二次函數的頂點坐標是(h,k);(3)交點式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是圖像與x軸交點的橫坐標。

    (二)二次函數的圖像和性質

    拋物線是軸對稱圖形,對稱軸為直線x=-b/2a;對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別得,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)。

    拋物線有一個頂點P,坐標為P[-b/2a,(4ac-b2)/4a];當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b2-4ac=0時,P在x軸上。

    二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小:當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口;|a|越大,則拋物線的開口越小。一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置:當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。常數項c決定拋物線與y軸交點;拋物線與y軸交于(0,c)。

    (三)二次函數圖像的平移、旋轉和翻折

    二次函數頂點式的平移的步驟:a.將拋物線解析式轉化為頂點式y=a(x-h)^2+k,確定其頂點坐標;b.保持拋物線的形狀不變,平移頂點坐標(h,k)即可。平移的規律:左加右減,上加下減”。

    二次函數圖像的旋轉:(1)繞定點旋轉180°:首先將二次函數一般式化為頂點式y=a(x-h)^2+k,旋轉后的a變為-a,頂點坐標為(h,k),旋轉后的解析式為y=-a(x-h)'^2+k;(2)繞原點旋轉180°:首先將二次函數一般式化為頂點式y=a(x-h)^2+k,旋轉后的a變為-a,頂點坐標為(-h,-k),旋轉后的解析式為y=-a(x+h)^2-k。

    二次函數圖像的翻折:(1)沿x軸翻折,首先將二次函數一般式化為頂點式y=a(x-h)^2+k,翻折后的a變為-a,頂點坐標為(h,-k),翻折后的解析式為y=-a(x-h)^2-k;(2)沿y軸翻折,首先將二次函數一般式化為頂點式y=a(x-h)^2+k,翻折后的a變為a,頂點坐標為(-h,k),翻折后的解析式為y=a(x+h)^2+k。

    (四)二次函數解析式的確定

    確定二次函數解析式的步驟:①根據已知設合適的二次函數的解析式,已知拋物線上三點的坐標選用一般式,已知拋物線的頂點坐標或對稱軸與最大(小)值用頂點式,已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標用交點式;②代入已知條件,得到關于待定系數的方程組;③解方程組,求出待定系數的值,從而寫出函數的解析式。

    五)二次函數的圖象與系數a,b,c的關系

    結合圖像,請判斷abc>0是否正確,解題思路:①根據二次函數開口方向判斷a的符號;②根據對稱軸的位置以及a的符號,判斷b的符號;主要運用“左同右異”四字口訣解決問題;③根據拋物線與y的交點判斷c的符號。

    結合圖像,請判斷ma±nb>0是否正確,解題思路:①根據二次函數圖像確定對稱軸方程或者范圍;②如果對稱軸為x=1,則可得到2a+b=0;如果對稱軸為x=-1,則可得到2a-b=0;③對稱軸為其它具體確定的數,做法類似;④如果對稱軸不確定,能確定范圍,則一樣可以求解,比如對稱軸在1和2之間,且開口向上,則可得到1<-b/2a<2,則可得到2a+b<0或者4a+b>0。

    結合圖像,請判斷b2>4ac是否正確,解題思路:①觀察函數圖像是否完整;②如果不完整,請補充完整,主要是補充與x軸的交點;③根據圖像與x軸的交點個數,判斷△的符號。

    結合圖像,請判斷ma±nb+c<0是否正確,解題思路:①結合式子,判斷二次函數上的特殊點;②利用數形結合思想,判斷代數式的符號。

    (六)二次函數與方程、不等式的關系

    二次函數的圖像與x軸的交點的橫坐標是一元二次方程的實數根:(1)當b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有兩個交點,即對應一元二次方程有兩個不相等的實數根,反之成立;(2)當b ^2-4ac=0時,拋物線與x軸只有一個交點,即對應一元二次方程有兩個相等的實數根,反之成立;(3)當b ^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點,即對應一元二次方程沒有實數根,反之成立。

    二次函數與不等式:二次函數y=ax^2+bx+c(a≠0)與直線y=kx+m相交于點M(x1,y1),N(x2,y2)(x1<x2),當a>0時,不等式ax^2+bx+c>kx+m的解集是x<x1或x>x2,不等式ax^2+bx+c<kx+m的解集是x1<x<x2;當a<0時,不等式ax^2+bx+c>kx+m的解集是x1<x<x2,不等式ax^2+bx+c<kx+m的解集是x<x1或x>x2。

    二次函數在初中數學中占有重要位置,特別是在中考的最后一道大題,算是數學大題中的壓軸題,而對學生來說,拋物線學不好,函數就無從下手,拋物線中的開口問題、對稱軸問題、交點問題等充斥大腦 ,會讓很多同學望而卻步。

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